第五讲·构造相同·上集

想除,就得一样大

两个数加起来 34,相差 8,各是几?很多老师讲这类题只讲三个字——线段图。这一讲要说的是:线段图不是关键,它只是把抽象的数翻译成看得见的图。真正解题的是「构造相同」,而三条路都通向它。

8–9 岁 · 二三年级9 章 · 约 7 分钟 中文配音 + 字幕4 道随堂题
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和 34,差 8 —— 关键真的是线段图吗?
有配音,建议开外放或戴耳机 · 全片约 7 分钟 · 中途会出 4 道小题
动手时间
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这一集在讲什么

一句话:不一样大就没法平分,那就动手把它弄成一样大。

一看 · 看出麻烦
两条线段不一样长,所以不能直接 ÷ 2。认出这一点,才谈得上动手。
÷ 2 = 平均分成两份
二造 · 弄成一样大
全讲的核心动作。三条路都行:把多的花掉、给少的补上、匀一半。
34−8 / 34+8 / 总和不变
三还 · 除完要还原
除出来的那份是大数还是小数?别忘了加回去或减回去。
13 + 8 = 21
别把工具当方法
线段图只做了一件事——把抽象的数翻译成看得见的图。它自己不解题。
看清楚 ≠ 解出来

线段图到底干了什么

很多老师讲和差问题,答案就三个字:线段图。这一集要说的是——线段图不是关键。

✓ 它做到的:翻译

把抽象的数变成看得见的图。

和 34·差 8→两条线段

就像你最早学 1+1=2,也得摆两个苹果才想得明白。抽象的东西还搭不起来时,先用看得见的东西撑一撑。

✗ 它没做到的:解题

画完图,答案并不会自己蹦出来。

画完了→然后呢?

下一步想什么,图不会告诉你。真正解题的是那个想法:把两条弄成一样长。

为什么这一拳值得打:孩子如果以为「会画线段图 = 会做这类题」,将来碰到画不出图的题就会慌。
工具和方法要分清楚。看清楚很重要,但看清楚不等于解出来。

三条路,一个内核

三种做法,三张不同的图,落到同一对答案 21 和 13。想法只有一个。

1把多的花掉

我比你多 8 元,我把这 8 元花掉。
图上就是把长的那条剪掉 8。

34 − 8 = 26 26 ÷ 2 = 13(小)
2给少的补上

反过来,我给你补 8 元。
图上就是把短的那条接长 8。

34 + 8 = 42 42 ÷ 2 = 21(大)
3匀一半

我把多出来的一半(4 元)给你。
钱的总数一分没变。

34 ÷ 2 = 17 17±4 = 21 和 13
第三条路最能说明问题:总和一点没动,我只是把它重新分了一下,分成两个一样的。这就是「构造相同」四个字的字面意思。
从图上看,是让两条线段一样长;从数上看,是造出两个相同的加数。同一件事的两种说法。

为什么非要「相同」不可

这一问比这道题本身更值钱。答案藏在乘法和除法的定义里。

除法是什么
「÷ 2」的意思是平均分成两份。要能平均分,每份必须一样多。
不一样多 → 除法上不了场
乘法是什么
「× 50」的意思是 50 个一样多的加起来。前提同样是每份一样多。
不一样多 → 乘法也上不了场
所以
造出相同,就是在给乘法和除法铺路。铺好了,一步顶一百步。
99 次加法 → 1 次乘法
回到第一讲
1+2+…+100 首尾配对,造出 50 个一样大的 101——那也是构造相同。
隔了四讲,同一招
五讲绕了一圈,接回了起点。第一讲的配对和第五讲的和差,题目毫不相干,底下是同一个想法:先造出相同,再让乘除法上场。
这也是为什么我们从来不先给公式——公式只管一道题,这个想法管一辈子的题。

练一练 · 六道

不是做得多就掌握得好。这六道各管一件事,做完能讲出理由就可以收工。

为什么只有六道

研究反复验证过一件事:同一节课里做 9 道和做 3 道,四周后的成绩没有差别——多出来的题当场看着熟练,一个月后一分钱不值。真正管用的是换着花样做和隔几天再做。

所以下面每次只出六道,按「每一步各练到、拒绝题也来一次」凑成最小集合,顺序是打乱的,也故意不告诉你每道该用哪招——判断用不用得上,本身就是第一步。

今天做一组→第 3 天换一组→第 10 天再换一组

这三个时间点不用你记——到点了,页面最上面那条会自动变成黄色提醒你。
停止条件不是做满六道,是讲得出理由。某一步错了,用下面的按钮只补那一步。