第十一讲·数形结合·下集

12 个乘积,拼成一个长方形

两组数各取一个相乘,把十二个乘积全加起来。全是两位小数,谁看了都不想动手。可用两次乘法分配律,一个小数乘法都不用算,答案是 100。再把每个乘积画成一块地——十二块严丝合缝拼成一块大长方形,宽和高正好是两组数各自的和。这张图不是用来验算的,它本身就是分配律的证明。

8–9 岁 · 二三年级9 章 · 约 5 分钟 中文配音 + 字幕4 道随堂题
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12 个乘积全加起来 —— 一个都不用算
有配音,建议开外放或戴耳机 · 全片约 5 分钟 · 中途会出 4 道小题
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这一集在讲什么

一句话:十二个小数乘法,一个都不用算。

先看清有多少个
第一组 3 个数,每个都要配第二组 4 个:3 × 4 = 12 个乘积。列的时候要有顺序,才不会漏、不会重。
有序,是第一步
提一次
头一组四项都在乘 2.1,把它提到括号外:2.1 × (1.2+2.3+2.4+4.1)。括号里正好是 10。
乘法分配律,反着用
再提一次
剩下 2.1×10 + 3.5×10 + 4.4×10,又都在乘 10。再提:(2.1+3.5+4.4) × 10 = 10 × 10 = 100。
一个小数乘法都没算
画出来看一眼
每个乘积是一块地,12 块拼成一块大长方形。宽 = 第一组的和 = 10,高 = 第二组的和 = 10。
面积就是答案

两条路,同一个答案

代数走一遍,几何再走一遍——这一讲的重点是它们是同一件事。

✓ 代数:提两次公因数

十二项 → 三项 → 一项:

2.1×10+3.5×10+4.4×10
(2.1+3.5+4.4) × 10=100

两组数各自加起来都正好是 10——这不是巧合,是出题人特意安排的,好让你看清结构。

✓ 几何:十二块地拼一块

横着三列,竖着四行:

宽 = 2.1+3.5+4.4 = 10
高 = 1.2+2.3+2.4+4.1 = 10

十二块小地严丝合缝拼成一块大地,面积 10 × 10 = 100。一眼就看出来,不用算。

最深的一层在这儿:这张图不是用来「验算」的,它本身就是乘法分配律的一个证明——十二块小地的面积之和,等于整块大地的面积。
分配律写成式子有点抽象,画成一块地,一眼就懂了。这正是「数缺形时少直观」。

十一讲,十一个大想法

到这儿,这本书的十一讲全部讲完了。

前十讲
配对 · 对应 · 假设调整 · 逐步调整 · 构造相同 · 不变量 · 换位与位值 · 多次平分 · 正难则反 · 错位相减。
每一招都有边界
第十一招
数形结合。数走不通就画出来,图形不精确就回去算一遍。上一集比哪块地大,这一集拼成一块大地——同一个翻译词典。
乘法 = 一块地
再加一组呢
三组数各取一个相乘,36 个乘积。办法一点没变:三组的和都是 10 → 10×10×10 = 1000。画出来就是一个立方体。
平面变立体
留一道
两个数加起来是 12,乘积最大是多少?先猜一个,再画一块地验一验——看看是不是又是那个正方形。
想好了讲给爸爸妈妈听

练一练 · 六道

不是做得多就掌握得好。这六道各管一件事,做完能讲出理由就可以收工。

为什么只有六道

研究反复验证过一件事:同一节课里做 9 道和做 3 道,四周后的成绩没有差别——多出来的题当场看着熟练,一个月后一分钱不值。真正管用的是换着花样做和隔几天再做。

所以下面每次只出六道,按「每一步各练到、拒绝题也来一次」凑成最小集合,顺序是打乱的,也故意不告诉你每道该用哪招——判断用不用得上,本身就是第一步。

今天做一组→第 3 天换一组→第 10 天再换一组

这三个时间点不用你记——到点了,页面最上面那条会自动变成黄色提醒你。
停止条件不是做满六道,是讲得出理由。某一步错了,用下面的按钮只补那一步。